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关于“一致收敛”，我们在《数学分析》里已经知道了这个概念，和处处收敛相比，一致收敛的条件更严苛，即一致收敛一定是处处收敛的，但处处收敛不一定一致收敛。收敛使用极限来定义的，而极限是用ε-N语言描述，在处处收敛即函数列极限的定义中，对某个数集上的x，对任意ε，存在N，当n>N时，|fn(x)-f(x)|<ε,也就是说N是与x和ε有关的，即N(x,ε)。但是对于一致收敛，对任意ε，存在N，当n>N时，对数集上一切x，存在|fn(x)-f(x)|<ε,也就是N只与ε有关，即N(ε)。下面给出几乎处处收敛的定义。
Egoroff定理指出了当函数列在E上不一致收敛的时候，我们可以在E中去掉一个很小的点集e，使得E\e 上函数列是一致收敛的。下面给出一个定理是证明Egoroff定理的引理。
这里对可测函数有了一定限制，一是几乎处处有限，二是定义域的测度有限。这个定理表达的意思是，当k趋近于无穷时，几乎每一个函数值都趋近于f(x)的函数值，除了某些点，而这些点构成的点集的测度为0。本质上因为这个函数列几乎处处收敛于f(x)，前面已经给出几乎处处收敛的定义，我们知道不收敛点构成的集合的测度为0。下面给出Egoroff定理的描述和证明。
以经典的例子幂函数为例，令fn(x)=x^n 在[0,1]的区间，令f(x)在[0,1)上的值为0，而f(1)=1,则fn(x)处处收敛于f(x)但非一致收敛，根据上面的定理，舍去一个测度任意小的正测集，可以使得在余下的点集上一致收敛，比如舍去一个测度为a的（1-a,1],显然在[0,1-a]上一致收敛。
