202023-10-02 03:25:50
关于几种收敛的区别与联系在知乎上已经有人（姚岑卓）给出了准确的说明，并且得到了广泛接受。我是个非数学专业人员，但对碰到的数学问题又喜欢追根寻底，在经过几天的折磨之后，在此给出该问题的一个近乎小学生的直观解释。因为直观，所以可能不太严谨，但对于跟我一样没有学过测度论的科研人员来说，或许是有一定帮助的，或者可以把以下内容作为（姚岑卓）相关内容的补充说明。下面主要通过几个例子来说明几种收敛之间的区别。
1、依分布收敛。例子，如果随机序列x(n)x(n)取0和1的概率分别为0.5，而随机变量xx取0和1的概率也分别为0.5，那么，根据依分布收敛的定义可知，x(n)x(n)依分布收敛于xx。但这并不表示x(n)x(n)与xx每次的取值有任何关系：这一次x(n)x(n)可能取0，而xx取1；x(n)x(n)可能取1，而xx取0；下一次x(n)x(n)可能取1，而xx取0；x(n)x(n)可能取0，而xx取1。总之，如果一个随机序列收敛于某随机变量，两者的取值没有关系。
2、依概率收敛。例子，如果随机序列x(n)x(n)取0的概率是1−1/n1-1/n，取n\sqrt{n} 的概率是1/n1/n，那么，按照依概率收敛的定义，这个随机序列依概率收敛于0。
3、均方收敛。还是2中的例子，它不是均方收敛于0的，因为E(x(n)−x)2=1E\left( x(n)-x \right)^{2} =1，如果要使上面的序列均方收敛于0，只需将“取n\sqrt{n} 的概率是1/n1/n”，修改为“取1的概率是1/n1/n”即可。修改后的随机序列当然还是依概率收敛的。
4、几乎处处收敛。举例之前，要说说依概率收敛与几乎处处收敛的定义的区别：前者先取概率后取极限，后者先取极限后取概率。依然采用2中的例子，它也不是几乎处处收敛的，因为按照几乎处处收敛的定义，先对随机序列x(n)x(n)取极限，其极限根本不存在。即使将其理解成是存在的，则Pr{limn→∞x(n)=x}=1−1/n≠1Pr\left\{ \lim_{n \rightarrow \infty }{x(n)=x} \right\} =1-1/n\ne 1。如果要使上面的序列几乎处处收敛于0，则需要规定，当N">n>Nn>N时，序列x(n)x(n)以概率1取0。
